Marco01 Solow Model

Solow Model

The Base model

考虑一个封闭的不含政府投资的基本模型：

$$\begin{align} C_{t}+I_{t} &= Y_{t}= F(K_{t}, L) \label{1}\newline I_t &= K_{t+1} - (1-\delta)K_t \label{2} \\ I_t &= sF(K_{t}, L) \label{3} \end{align}$$

其中 , 分别为 t 期消费，投资和资本存量。而 分别是固定不变的劳动力投入，资本折旧率和资产投入比（储蓄率）

生产函数的形式：

• Y=F(K,AL)：技术进步被称为劳动增加型、哈罗德中性
• Y=F(AK,L)：技术进步被称为资本增加型、索罗中性
• Y=AF(K,L)：技术进步被称为产出增加型、希克斯中性

知识或劳动有效性 A（有效劳动 AL）

由公式 和 得资本积累方程为

$$\begin{align} K_{t+1} =(1-\delta)K_t +sF(K_{t}, L) \label4 \end{align}$$

为了分析经济中的动态情况，做出一下假设：

$$F(0, L)= 0 \\ F_{K}(0, L)>\frac{\delta}{s} \\ \mbox{F is strictly concave in K and strictly increasing in K} \\ \lim_{k \to \infty} sF(K, L)+1-\delta < 1$$

满足这个假设的一个常用例子是，柯布-道格拉斯函数（Cobb-Douglas function）

Theorem 1.1 $\exists K^ >0,\forall K_0>0,K_t\to K^ K^*$ 必存在)

Proof.

$$K_{t+1} - K_t = sF(K_t, L)-\delta K_t = H(K_t) \\ from\ the \ assumption: H(0)= 0\\ H_K(K_t) = sF_K(K_t, L)-\delta = \left \{ \begin{aligned} &> 0 \ K\to 0 \\ &< 0 \ K\to +\infty \end{aligned} \right.\\ H_{KK}(K_t)= sF_{KK}(K_t, L)< 0$$

此时存在唯一驻点 $K^δK^∗ = sF(K^∗ , L)\exists K^ >0,\forall K_0>0,K_t\to K^*$

考虑放松假设 2-4

1. 假设方程 是非严格凹函数

   eg. assume （资本存量达到一定程度才会产出）

   此时

2. 假设

   此时

1. 假设

​ 此时

当违反假设时，经济就不会有稳态，经济的资本存量 要么收敛到零要么趋近无限大。

应用

考虑人口增长和技术进步

现在考虑人口增长与技术增长对索罗模型的影响，假设人口增长以恒定不变的 增长，同时劳动力技术水平（影响劳动力总投入）以 增长，此时生产函数是哈罗德中性的。

$$\begin{align} C_{t}+I_{t} = F(K_{t},(\gamma \gamma_n)^tL) \label5 \end{align}$$

我们用人均资本的形式定义 t 期资本，，此时资本积累方程 可以被写为

$$\begin{align} \gamma \gamma_n\hat{K}_{t+1} =(1-\delta)\hat{K}_{t} +sF(\hat{K}_{t}, L) \label6 \end{align}$$

由于 是一阶齐次的，在达到稳态时，平衡增长的资本存量 由下面式子给

$$\begin{align} \gamma \gamma_n +\delta -1 = sF(1,\frac{L}{\hat{K}_{ss}}) \label7 \end{align}$$

比较静态的结果表明，人口增长率 和人均资本 成反比。直观地说，因为 和 之间的人口增长率越高，在 时人均储蓄的任何给定储蓄量转化为人均资本越少，储蓄率较低或人均教育程度较低的国家也是如此。

趋同或者缺乏趋同

索洛模型可以用来分析经济的收敛速度。当模型存在稳态点，那么可以从形式上用参数 来定义当前资本存量 和稳态水平 $K^K_t-K^$：

$$\begin{align} K_{t+1}-K^*=(1-\lambda)(K_t-K^*) \label8 \end{align}$$

方程 可以被看做是资本积累方程 的一阶泰勒展开，考虑简单的柯布-道格拉斯方程 。一阶泰勒展开的结果可表示为

$$1-\lambda\approx \alpha s A(\frac{K^*}{L})^{\alpha -1}+1-\delta$$

在稳态状态下 (在没有技术进步和人口增长的情况下)，所以

是模型的收敛速度，如果差距完全不收敛，收敛速度为无限。它与储蓄率成反比，与资本折旧率成正比。

此时当时，，生产函数在是关于资本线性增长的的。假设这种情况下，被称为AK生产模型，他是最简单的内生增长模型。