Dynamic optimization

finite horizon new classical growth model

考虑一个有限期的消费者模型，其效用函数为，假设这个效用是可加可分的（“additive separability），这个效用函数可以表示为

$\begin{align} U(c_0,c_1,\dots,c_T) = \sum_{t=0}^{T} \beta^tu(c_t) \end{align}$

是折现因子，因为当期消费总比未来消费更有价值，所以一般假设

现在考虑一个有限期新古典增长模型的动态优化问题

$\begin{array}{rl}\max_{\{c_i,k_{i+1}\}_{i=0}^T}&\sum\limits_{t=0}^T\beta^tu\left(c_t\right)\\ \text{s.t.}&c_t+k_{t+1}\leq f\left(k_t\right)\equiv F\left(k_t,N\right)+\left(1-\delta\right)k_t,\forall t=0,...,T\\&c_t\geq0,\forall t=0,...,T\\&k_{t+1}\geq0,\forall t=0,...,T\\&k_0>0\text{ given.}\end{array}$

在该模型中，个人的储蓄依靠生产下一期的总产出，市场不存在一个可以借贷的市场。

现在做出一些假设：

是严格递增的，这意味着扔掉产出总是不明智的。$ct+k{t+1}\le f(k_t)$应该永远取等
$\lim{c \to 0^{+}} u^{‘}(c)= +\infty $同时$ \lim{c \to \infty} u^{‘}(c)= 0 $，这说明任何$ t $处$ c_t=0 $都是非最优的。每期都需要消费$ c_t>0$)。这一条件也被称为稻田条件(Inada Conditions)

可以写下该最优化问题的拉格朗日函数：

$\begin{align} L = \sum_{t=0}^T\beta^t[ u(c_t)-\lambda_t [c_t+k_{t+1}-f(k_t)]+\mu_tk_{t+1}+\gamma_tc_t] \end{align}$

一阶条件为：

$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial c_t} &= \beta^t[u^{’}(c_t)-\lambda_t+\gamma_t]=0 \ t=0,\dots,T \label3 \\ \frac{\partial L}{\partial k_{t+1}} &= \left\{\begin{matrix} &-\beta^t\lambda_t+\beta^t\mu_t+\beta^{t+1}\lambda_{t+1}f^{'}(k_{t+1})=0 \ t=0,\dots,T-1\label4\\ & -\beta^t\lambda_t+\beta^t\mu_t=0 \ t=T \end{matrix}\right. \end{align}$

该问题的KKT条件为，

$\mu_tk_{t+1}=0 \\ \gamma_tc_t = 0 \\ \lambda_t\geq 0 \\ \mu_t \geq 0 \\ \gamma_t \geq 0$

由可得，。假设从公式得